第七章 ：笔来！（二更求追读）
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“不是，你还没走啊？”
看到依旧还坐在自己身边的桑凯，韩川愣了一下，下意识地问道：“你又不补考，有必要这样窝在这里卷吗？”
桑凯：“....”
什么叫‘还没走啊？’
他从早上七点跟过来到现在，屁股就没离开过这张椅子。韩川居然压根没注意到他还在？
嘴角抽了抽，他把手中的练习册往这边推了推，道：“我这里有道题做不出来，你帮我看看？”
“哟？”
闻言，韩川挑了挑眉，调侃道：“大学霸也会问我这个学渣问题？”
桑凯“恼羞成怒”地反驳道：“就说你会不会吧。”
韩川伸出手，拿过练习册，扫了眼上面的题目，有一道被画了个圈。
“画圈的这道？”
“嗯。”
“ok，我看看。”
低头，韩川看向题目。
【设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=f(1)=0，且当x∈(0，1)时，f″(x)≤0。证明：对于任意x∈(0，1)，有f(x)≥0。】
题干很短，就两行。
但在数学分析的范畴里，越是题干精简的证明题，内里的逻辑陷阱和推导难度往往越高。
韩川盯着题目看了一会，下意识地琢磨起来。
这道题在数学分析里属于中值定理的应用题，但和普通的课后习题完全不是一个量级。
题面上给的条件是二阶导数非正：也就是函数是“凹的”，两端点值为零，要证明中间任意点的函数值非负。
如果是单纯的凭直觉来看，他觉得这道题的证明是对的。
因为一个两端落地、中间不会向上凸起的曲线，确实不可能跑到地底下去。
但直觉是直觉，数学论证讲究严谨的逻辑推导，光靠直觉远远不够，必须一步步推演，做到环环相扣、无懈可击。
一旁的桑凯靠在椅背上，悄悄观察着韩川的神情，心中思绪翻涌。
这道题的难度不小，是前两年大学生数学竞赛的一道证明大题。
他自己刚刚试着做了两个小时，结果连解题的门都没摸到。
当然，真要说，这道题在练习册的最后其实是有答案的。
他也看了，但他问韩川的目的就是想看看这个宿友到底是个什么水平。
当然，也有点较劲的意思。
毕竟在401宿舍中，所有人都知道韩川是数学保送生，是CMO省赛一等奖，差一点就近国决的天才。
但一学期以来，谁都没见过他认真学习，谁都不知道现在这个天才到底是个什么水平。
桑凯也想看看。
图书馆中，韩川不知道桑凯脑子里这些弯弯绕。他只是盯着题目，脑子里正在飞速地翻找相关的知识点。
假设存在某点函数值为负，然后利用导数条件推出矛盾.....不行，反证法行不通。
拉格朗日中值定理呢？
好像可以，但这需要处理两个区间上的一阶导数关系，还要引入二阶导数来刻画一阶导数的单调性。因为f″≤0意味着f′单调递减。
这有点太麻烦，有没有更简单的方法？
桑凯靠在椅背上，看着韩川皱眉的样子，心里的憋闷稍微散了一点，悬着的心也放松了不少，笑着开口道。
“不会就算了，没事，我看看答案研究一下。”
看样子上学期打了一学期的游戏，这个室友的水平已经远不如他了。
书桌前，韩川没理会桑凯，思索了一会后，他忽然想到了什么，快速地开口道。
“逼来！”
桑凯愣了一下，下意识地递上了笔。
握着笔，韩川拉过稿纸，画了一条凹函数的草图。
【令x₀∈(0，1)为任意一点。因为f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上单调递减。由拉格朗日中值定理，在(0，x₀)上存在ξ₁，使得f(x₀)−f(0)=f′(ξ₁)(x₀−0)，即f(x₀)=f′(ξ₁)x₀。】
【在(x₀，1)上存在ξ₂，使得f(1)−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)，即−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)。所以f(x₀)=−f′(ξ₂)(1−x₀)。】
【因为f′单调递减，而ξ₁0。由f′的单调递减性，f′(ξ₁)≥f′(ξ₂)，即f′(ξ₁)−f′(ξ₂)≥0。但f′(ξ₁)0，故f′(ξ₁)−f′(ξ₂)0，f′(ξ₁)x₀要等于一个负数，那f′(ξ₁)只能是负的？”
“缤购！”
韩川打了个响指，笑道：“对！由此同理，−f′(ξ₂)(1−x₀)要等于一个负数，而(1−x₀)>0，所以−f′(ξ₂)必须是负的，也就是f′(ξ₂)必须是正的。”
听完韩川的讲解，桑凯盯着手中稿纸上的算式慢慢吐出一口气。
“原来如此....”
话音未落，他似乎就想起了什么，迅速拿过了一旁的训练本，翻到了最后的答案页。
“等会，你这个解法，好像和标准答案上的解法不一样！”
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看到依旧还坐在自己身边的桑凯，韩川愣了一下，下意识地问道：“你又不补考，有必要这样窝在这里卷吗？”
桑凯：“....”
什么叫‘还没走啊？’
他从早上七点跟过来到现在，屁股就没离开过这张椅子。韩川居然压根没注意到他还在？
嘴角抽了抽，他把手中的练习册往这边推了推，道：“我这里有道题做不出来，你帮我看看？”
“哟？”
闻言，韩川挑了挑眉，调侃道：“大学霸也会问我这个学渣问题？”
桑凯“恼羞成怒”地反驳道：“就说你会不会吧。”
韩川伸出手，拿过练习册，扫了眼上面的题目，有一道被画了个圈。
“画圈的这道？”
“嗯。”
“ok，我看看。”
低头，韩川看向题目。
【设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=f(1)=0，且当x∈(0，1)时，f″(x)≤0。证明：对于任意x∈(0，1)，有f(x)≥0。】
题干很短，就两行。
但在数学分析的范畴里，越是题干精简的证明题，内里的逻辑陷阱和推导难度往往越高。
韩川盯着题目看了一会，下意识地琢磨起来。
这道题在数学分析里属于中值定理的应用题，但和普通的课后习题完全不是一个量级。
题面上给的条件是二阶导数非正：也就是函数是“凹的”，两端点值为零，要证明中间任意点的函数值非负。
如果是单纯的凭直觉来看，他觉得这道题的证明是对的。
因为一个两端落地、中间不会向上凸起的曲线，确实不可能跑到地底下去。
但直觉是直觉，数学论证讲究严谨的逻辑推导，光靠直觉远远不够，必须一步步推演，做到环环相扣、无懈可击。
一旁的桑凯靠在椅背上，悄悄观察着韩川的神情，心中思绪翻涌。
这道题的难度不小，是前两年大学生数学竞赛的一道证明大题。
他自己刚刚试着做了两个小时，结果连解题的门都没摸到。
当然，真要说，这道题在练习册的最后其实是有答案的。
他也看了，但他问韩川的目的就是想看看这个宿友到底是个什么水平。
当然，也有点较劲的意思。
毕竟在401宿舍中，所有人都知道韩川是数学保送生，是CMO省赛一等奖，差一点就近国决的天才。
但一学期以来，谁都没见过他认真学习，谁都不知道现在这个天才到底是个什么水平。
桑凯也想看看。
图书馆中，韩川不知道桑凯脑子里这些弯弯绕。他只是盯着题目，脑子里正在飞速地翻找相关的知识点。
假设存在某点函数值为负，然后利用导数条件推出矛盾.....不行，反证法行不通。
拉格朗日中值定理呢？
好像可以，但这需要处理两个区间上的一阶导数关系，还要引入二阶导数来刻画一阶导数的单调性。因为f″≤0意味着f′单调递减。
这有点太麻烦，有没有更简单的方法？
桑凯靠在椅背上，看着韩川皱眉的样子，心里的憋闷稍微散了一点，悬着的心也放松了不少，笑着开口道。
“不会就算了，没事，我看看答案研究一下。”
看样子上学期打了一学期的游戏，这个室友的水平已经远不如他了。
书桌前，韩川没理会桑凯，思索了一会后，他忽然想到了什么，快速地开口道。
“逼来！”
桑凯愣了一下，下意识地递上了笔。
握着笔，韩川拉过稿纸，画了一条凹函数的草图。
【令x₀∈(0，1)为任意一点。因为f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上单调递减。由拉格朗日中值定理，在(0，x₀)上存在ξ₁，使得f(x₀)−f(0)=f′(ξ₁)(x₀−0)，即f(x₀)=f′(ξ₁)x₀。】
【在(x₀，1)上存在ξ₂，使得f(1)−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)，即−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)。所以f(x₀)=−f′(ξ₂)(1−x₀)。】
【因为f′单调递减，而ξ₁0。由f′的单调递减性，f′(ξ₁)≥f′(ξ₂)，即f′(ξ₁)−f′(ξ₂)≥0。但f′(ξ₁)0，故f′(ξ₁)−f′(ξ₂)0，f′(ξ₁)x₀要等于一个负数，那f′(ξ₁)只能是负的？”
“缤购！”
韩川打了个响指，笑道：“对！由此同理，−f′(ξ₂)(1−x₀)要等于一个负数，而(1−x₀)>0，所以−f′(ξ₂)必须是负的，也就是f′(ξ₂)必须是正的。”
听完韩川的讲解，桑凯盯着手中稿纸上的算式慢慢吐出一口气。
“原来如此....”
话音未落，他似乎就想起了什么，迅速拿过了一旁的训练本，翻到了最后的答案页。
“等会，你这个解法，好像和标准答案上的解法不一样！”
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